수학강의 - 덧셈부터 적분까지 (고등수학!!)

3. 정의란 무엇인가

정의 = 지체하지 않고 깔끔하게 말할 수 있는 대상의 속성

수학과 물리학에서 고등과정에서의 정의는 간단합니다. (개편된 현 교육과정에서 일부는 제외됩니당)

복잡하지않고 명료해야 합니다.
주절주절 나와서는 안됩니다.

예를들어, 고등학교 1학년1학기 과정의 '원'
2학년이상 과정에서의 '타원', '포물선', '쌍곡선'의 이차곡선파트에서
위 이차곡선의 정의는? 이라고 물었을 때 지체없이곧바로 깔끔한 대답이 나와야 합니다.

  1. 원 : 한 점에서 같은 거리 만큼 떨어져있는 점들의 집합
  2. 타원 : 두 점에서의 거리의 합이 같은 점들의 집합
  3. 쌍곡선 : 두 점에서의 거리의 차가 같은 점들의 집합
  4. 포물선 : 한 점한 직선과의 거리가 같은 점들의 집합

기억이 나시지 않는 분은 당장 수학1, 기하와벡터를 펼쳐서 내용을 확인 하셔야 겠네요.

수학적 정의는 다른 과목처럼 텍스트를 달달 외워서 그대로 뱉어내는 것이 아닌
(ex. 생명과학의 미토콘드리아 : 동식물의 세포내에서 호흡기관을 관장하는 소흡기관)
머릿속에서 수식이 완성되어서 그걸 표현해낼 수 있으면 됩니다.

원의 정의를 다음과 같이 도식화 해봤습니다.

 


<출처 : 직접... 그림은 구글>

원은, 중점이라고 불리는 한 점에서부터 반지름의 길이라고 불리는 같은 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합입니다.
이것을 그림으로 그려 가며 도식화 해보면 위와 같이 되겠죠.

그럼 100원짜리 동전과 실반지 중 수학의 원에 가까운건 무엇일까요?

100원짜리는 원이라기 보다 원판, 원과 그 내부 라고 표현하는게 좋겠죠.
실반지는 원의 정의에 부합해 보입니다.


이처럼, 원 뿐만 아니라 포물선 타원 쌍곡선도 마찬가지이고, 
다른 단원인 구의 방정식, 삼수선의 정리 등과 집합과 명제, 다항함수 등이 있겠고
더 확장하여 중학교때 처음 배우는 피타고라스의 정리나 맞꼭지각의 정리 등등등
모두 위처럼 도식화하실 수 있어야 합니다.

 

정의는 '약속'입니다. 약속이면 어떤 걸 약속했는지 내용이 있겠죠.
약속(정의)의 나타남은, 내용을 떠올려야하는 것의 조건반사가 필히 뒤따라야 할 것입니다.

이는, 다음 문제에서 잘 나타납니다.


<출처 : kice 수능평가원 http://suneung.re.kr>

한번 도식화 해봅시다. (해답을 올리진 않겠습니당)

  1. 장축의 길이가 16, 24라는걸 염두에 두고 크기가 다르고 조금 겹치는 두 타원을 그립니다.
  2. 또, 촛점 F, F1, F2를 찍고, 만나는 점을 PQ라고 표시합니다.
  3. 위에서 설명하는 모든 길이들을 그려봅시다. PF1, PF2, QF1, QF2
  4. 여기까지가 일단 풀이의 기본입니다. 문제의 모든 조건을 만족하는 그림을 그렸네요.
  5. 뚫어져라 바라보지만 풀리지 않네요.
  6. 뒤에 다룰 풀이 파트의 '숨겨진 보조선을 찾아라(가칭)'챕터에서 설명할것이지만 미리봅시다.
    살짝 숨겨진 행간인데요, PF, QF를 그리는 겁니다.
  7. 천천히 타원의 정의를 음미하면서 위에 나온 것과 새롭게 그려본 것이 어떤 것을 의미하는지, 그리고 이 식에서 어떻게 활용할지 고민해 봅시다.
  8. 정답의 힌트는 PF가 공통으로 활용되어 없어지는겁니다.
    즉 +PF -PF로 활용되는건데 여기까지 말해도 모르시면 안됩니다. 눈 크게뜨고 그린 그림을 보세요
    PF와 PF1, PF와 PF2를 각각 바라보세요.  그럼 마치 '착시'현상처럼 타원의 정의가 보일겁니다!
  9. 이걸위에 1~8번까지 장황한 설명을 했네요

 

다른 문제를 풀어 봅시다.


<출처 : kice 수능평가원 http://suneung.re.kr>

풀이로 도식화는 하지 않겠습니다.

두 포물선과의 관계를 묻는 문제입니다.
포물선의 정의를 떠올려서 촛점과 준선을 꼼꼼하게 찍어줘야 합니다.

B가 p1의 촛점이고 O가 p2의 촛점이다 보니 헷갈리기 쉽습니다.
피타고라스정리를 제외하고선 크게 다른 단원에서 활용되는 내용이 없어 쉽게 풀립니다.
다만 충분한 연습이 되어 있지 않으면, 굉장히 헷갈리기 쉽습니다.

 

 

이처럼 오늘은 정의에 대해 올려봤습니다.
다른 단원들의 정의도 다뤘으면 좋겠지만... 제가 출판할 것도 아니라서 그것까진 올리지 않을겁니다.
일단 모든 강의를 만족스럽게 업로드한 뒤 조금씩 내용을 추가해보도록 하겠습니다
이 글을 보신분들은 이렇게 문제와 연관지어서 정의공부를 조금씩 했으면 좋겠습니다!

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