머신러닝

Rank

다음과 같은 Matrix가 있다고 합시다. .

Linearly Independent한 조건식의 수는 어떻게 구할까요? 

Linearly Independent의 정의로 돌아가 봅시다.

즉, 다른 조건식(Vector)의 조합으로 만들 수 없는 조건식들이 바로 Linearly independent한 조건식입니다.

그럼 하나씩 빼나가다보면, 영벡터가 되는 조건식(Vector)은 결국 다른 조건식의 조합으로 이루어진 조건식(Vector)일 것입니다. 그래서 Linearly Independent한 조건식의 수를 구하는 과정은 다음과 같이 진행됩니다. 

1) 1행 1열의 원소를 기준으로, 아래 조건식들의 1열 원소가 모두 0이 되도록 빼줍니다.

2) 2행 2열의 원소를 기준으로, 아래 조건식들의 2열 원소가 모두 0이 되도록 빼줍니다.

3) 마지막 n행 n열의 원소를 기준으로, 아래 조건식들의 n열 원소가 모두 0이 되도록 빼줍니다. 

이러한 과정을 통해, 모든 원소가 0인 영벡터가 되지 않은 Vector는 1행,2행 Vector입니다.

즉, Linearly independent한 조건식의 수는 2개입니다. 

Rank란 이 Linearly independent한 조건식의 수를 의미하는 것으로, 

Rank(A) = 2

가 됩니다.

Rank는 즉, 진짜! 의미있는 조건식의 수를 의미하는 값으로, 이를 두고 Matrix의 true size를 의미합니다. 나중에 이 Rank의 개념은 해를 구함에 있어서, 중요하게 쓰이는 개념입니다. 잘 기억해 두시길 바랍니다.

Rank에는 재미있는 성질들이 있습니다. 복습 겸사, 한 번 Matrix A를 Transpose해서 구해보세요

이 행렬의 Rank 값 또한  2가 나옵니다. 이를 Rank Thereom(계수 정리)라 합니다.

이 뿐만 아니라, Rank의 성질을 찾아보시면 다양한 성질들이 있는데, 이는 참조하시면 도움이 됩니다.

 

지금까지 배운 Linearly independent와 Rank는  

주어진 Matrix가 정말로 해를 구할 수 있는 Matrix인가?

를 알아내기 위한 개념이었습니다. 이제 우리는 이를 통해, Matrix을 통해 해를 구할 수 있는지 확인했습니다. 그렇다면

그 Matrix의 해는 어떻게 구할까? 

이 질문에 대한 답은 다음 장으로 이어집니다

 

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