[Schritt 3-2] Hintergründe der Mathematik

2-4 Teilbarkeit

  • Im Rahmen der natürlichen Zahlen ist der des Vielfachen (genauer gesagt: des ganzzahligen Vielfachen) sehr wichtig (z.B. 12 ist ein Vielfaches von 3 (nämlich 4-fache) ).
  • Die Division 12/3 führt auf das ganzzahlige Ergebnis 4. Man sagt "3 teilt 12" oder "3 ist ein Teiler von 12" (bzw. 12 wird von 3 geteilt).
    • 5 teilt 21 nicht, da 21/5 nicht ganzzahlig ist (anders ausgedrückt, da 21 kein ganzzahliges Vielfaches von 5 ist). Verallgemeinerung: es gibt keine ganze Zahl n, für die 21 = 5n wäre.
      • Man kann aber 21 als 21 = 5 x 4 + 1 schreiben. Die auftretende Zahl 1 ist gerade der Rest, der sich beim Versuch, 21 durch 5 zu dividieren, ergibt.
  • Die ganze Zahl, die von 2 geteilt wird, heißt gerade, ansonsten ungerade.

Primzahl (소수)

  • Jede natürliche Zahl besitzt sich selbst und 1 als Teiler.
  • Falls eine gegebene natürliche Zahl außer diesen beiden (d.h. 1 und sie selbst) keinen weiteren Teiler besitzt, heißt sie Primzahl (z.B. 7 ist eine Primzahl, denn sie wird nicht von 2,3,4,5 oder 6 geteilt).
  • Jede natürliche Zahl lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.
    • Die Zahl 18 kann als 2 x 9 geschrieben werden. Der Faktor 9 kann weiter als 3 x 3 (oder 3^2 "3 zum Quadrat") zerlegt werden, woraus sich 18 = 2 x 3 x 3 ergibt. Das heißt die Primfaktorzerlegung der Zahl 18. In diesem Fall ist eine weitere Zerlegung nicht möglich, das 2 und 3 Primzahlen sind.
      • Die Zahlen 2 und 3 heißen Primfaktoren oder Primteiler.
  • Zwei oder mehr natürliche Zahlen können einen oder mehrere gemeinsame Teiler besitzen.
    • Ist dies nicht der Fall, so heißen sie teilerfremd (oder relativ prim).
  • Es ist notwendig, den größten gemeinsamen Teiler (abgekürzt ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (abgekürzt kgV) zweier oder mehrerer gegebener natürlicher Zahlen zu ermitteln.

 

Der größte gemeinsame Teiler zweier gegebener natürlicher Zahlen anhand des Beispiels (최대공약수)

Frage: Welche Zahl ist der größte gemeinsame Teiler von 36 und 120?

Eine definitive Antwort auf diese Frage liefert die Primfaktorzerlegung. Die 2 tritt in 36 zweimal auf, in 120 dreimal, also ist 2 zum Quadrat ein Teiler beiden Zahlen . Die 3 tritt in beiden Zahlen auf, und die 5 tritt nur in 120 auf, nicht in 36. Deshalb ist der ggT von 36 und 120 12.

 

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier gegebner natürlicher Zahlen anhand des Beispiels (최소공배수)

Frage: Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 120?

Natürlich ist 36 x 120 = 4320 ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen. Aber ist es das kleinste? Wieder gibt die Primfaktorzerlegung:

36 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5

Das KgV ist das Produkt aller gemeinsamen auftretenden Primfaktoren, wobei jeder Faktor so oft genommen werden muss, wie er mindstens in beiden Zahlen auftritt. Das kgV von 36 und 120 ist also 2 x 2 x 2 x3 x 3 x 5 = 360.

 

어휘: anhand + gen (~의 도움에 힘입어 with the help of ~ ), teilen (나누다), zerlegen (나누어 분석하다), 2 zum Quadrat (2의 제곱), 

 

댓글

댓글 본문
작성자
비밀번호
버전 관리
rheiner
현재 버전
선택 버전
graphittie 자세히 보기